Formule de calcul de la covariance

Nous proposons ici de démontrer la formule de calcul de la covariance. On a par définition :

		1	n
cov(x,y)	=	–––	S	( xi – mx)( yi – my )
		n	i = 1

On développe les produits :

( xi – mx)( yi – my )

=

xi yi – xi my +- mx yi + mx my

D’où la somme :

1

n

1

n

1

n

1

n

cov(x, y)

=

–––

S

xi yi –

–––

S

xi my –

–––

S

mx yi +

–––

S

mx my

n

i = 1

n

i = 1

n

i = 1

n

i = 1

On met les termes constants en facteurs. On a alors :

1

n

1

n

–––

S

xi my

=

my

–––

S xi

=

mx my

n

i = 1

n

i = 1

1

n

1

n

–––

S

mx yi

=

mx

–––

S yi

=

my mx

n

i = 1

n

i = 1

1

n

1

–––

S

mx my

=

mx my

–––

x n

=

mx my

n

i = 1

n

On obtient :

1	n			1	n
–––	S	( xi – mx)( yi – my )	=	–––	S	xi yi – mx my – mx my + mx my
n	i = 1			n	i = 1

D’où finalement :

		1	n
cov(x,y)	=	–––	S	xi yi – mx my
		n	i = 1